Ich interessiere mich für eine Tätigkeit als Erzieher-Ausbilder an einer Fachakademie. Studiert habe ich Pädagogik und Germanistik und stehe vor Abschluss meiner Promotion. Wie stehen die Chancen, Fuß zu fassen, wenn man sich direkt an die Akademien wendet und sich "anbietet"?

das kommt sehr darauf an, in welchem Bundesland Du eine Anstellung anstrebst. Je nach Bundesland sind die Einstellungskriterien sehr unterschiedlich.
Auch ob an einer privaten Akademie (klingt nach Bayern?) oder an einer staatlichen.
An staatlichen ist oft noch das Referendariat zu machen. In Baden-W. derzeit 18 Monate Vorbereitungsdienst.